L'Arte di Risolvere Equazioni di Parabole: Una Guida Completa agli Esercizi Svolti

La geometria analitica, con la sua capacità di descrivere forme geometriche attraverso equazioni algebriche, offre uno strumento potente per comprendere il mondo che ci circonda. Tra le figure coniche, la parabola occupa un posto di rilievo per la sua ubiquità in natura e nelle applicazioni tecnologiche. Dalla traiettoria di un proiettile alla forma di un'antenna parabolica, la parabola è una costante. Tuttavia, padroneggiare la risoluzione degli esercizi che la riguardano può presentare delle sfide. Questo articolo si propone di demistificare il processo, fornendo una guida chiara e strutturata per affrontare e risolvere una vasta gamma di problemi relativi alle equazioni delle parabole.

Fondamenti: Tre Valori, Tre Condizioni

L'osservazione fondamentale da cui partire è che per poter identificare univocamente una parabola sono necessari e sufficienti tre soli valori numerici. Non solo in geometria analitica, ma in generale in tutta la matematica vale una specie di equivalenza che si può esprimere così: un parametro, una condizione. Questo significa che per ogni variabile cui assegnare un valore, bisogna trovare una condizione che si possa tradurre in un'equazione. Nel caso della parabola, i parametri che ne definiscono univocamente l'equazione canonica $y = ax^2 + bx + c$ (per una parabola con asse di simmetria verticale) sono $a$, $b$, e $c$. Pertanto, tre devono essere le condizioni da individuare nel testo di un problema e riscrivere sotto forma di equazione. Una volta scritte queste, la risoluzione diventa una mera questione algebrica: è sufficiente risolvere il sistema di tre equazioni ottenuto.

Condizioni Frequenti e la Loro Traduzione Algebrica

Per facilitare la traduzione delle informazioni fornite nei problemi in equazioni risolvibili, è utile conoscere le formulazioni algebriche delle condizioni più comuni.

Passaggio per un Punto

Questa condizione corrisponde a una singola equazione. Si ottiene sostituendo le coordinate del punto dato (ad esempio $P \equiv (xP; yP)$) nell'equazione generica della parabola. Ad esempio, se una parabola $y = ax^2 + bx + c$ deve passare per il punto $P \equiv (1;2)$, la condizione si traduce in:$2 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c \Rightarrow a + b + c = 2$.

Posizione dell'Asse di Simmetria

L'asse di simmetria di una parabola con asse verticale ha equazione $x = -\frac{b}{2a}$. Conoscere l'equazione dell'asse di simmetria fornisce una singola condizione che lega i coefficienti $a$ e $b$. Ad esempio, se l'asse di simmetria è la retta $x=1$, allora $-\frac{b}{2a} = 1$, da cui $b = -2a$.

Ampiezza della Parabola

L'ampiezza della parabola, ovvero quanto essa si apre, è direttamente legata al coefficiente $a$. In particolare, il valore assoluto di $a$ determina l'ampiezza: un valore più piccolo di $|a|$ corrisponde a un'apertura maggiore, mentre un valore più grande di $|a|$ indica un'apertura più stretta. Questa informazione fornisce una singola condizione sull'ampiezza, ovvero una condizione sul valore di $a$. Ad esempio, se una parabola ha la stessa ampiezza di $y=2x^2$, allora $|a| = 2$.

Posizione del Vertice

La posizione del vertice di una parabola è un'informazione particolarmente ricca, poiché in un certo senso vale doppio. Stabilisce contemporaneamente due condizioni:

1. Passaggio per un punto: Il vertice è un punto appartenente alla parabola.
2. Posizione dell'asse di simmetria: L'asse di simmetria passa per il vertice.

Il modo più pratico per utilizzare questa condizione è attraverso la formula della parabola traslata, $y - yV = a \cdot (x-xV)^2$, dove $(xV, yV)$ sono le coordinate del vertice. Utilizzando questa forma, due parametri ($b$ e $c$) spariscono automaticamente dall'equazione, lasciando solo il parametro $a$ da determinare, unitamente alle coordinate del vertice.

Ad esempio, se il vertice è $V \equiv (1;2)$, l'equazione della parabola sarà della forma $y - 2 = a(x-1)^2$. Sviluppando, otteniamo $y = a(x^2 - 2x + 1) + 2 = ax^2 - 2ax + a + 2$. Confrontando con la forma canonica $y = ax^2 + bx + c$, vediamo che $b = -2a$ e $c = a+2$. Questo ci fornisce le relazioni per $b$ e $c$ una volta determinato $a$.

Posizione di Fuoco e Direttrice

Fuoco e direttrice sono elementi fondamentali che definiscono una parabola. La distanza tra il vertice e il fuoco è pari alla distanza tra il vertice e la direttrice, e questa distanza è legata al parametro $a$ dalla relazione $\frac{1}{4|a|}$.

• Fuoco: La posizione del fuoco fornisce informazioni sia sull'ampiezza che sull'orientamento della parabola. Se il fuoco è $F \equiv (xF; yF)$, e la parabola ha asse verticale, allora $xF = -\frac{b}{2a}$ e $yF = 1 + \frac{b^2-4ac}{4a} = \frac{4ac-b^2+4a}{4a}$.
• Direttrice: La posizione della direttrice fornisce anch'essa informazioni sull'ampiezza e sull'orientamento. Se la direttrice è una retta $y = q$ (per asse verticale), allora $q = -\frac{1}{4a} + y_V$.

Consideriamo l'esempio di una parabola con fuoco $F \equiv (1;2)$ e direttrice $r: y=0$. La distanza tra fuoco e direttrice è $d(F,r) = |2-0| = 2$. Questa distanza è uguale a $\frac{1}{2|a|}$ per una parabola con asse orizzontale, o $\frac{1}{4|a|}$ se pensiamo alla distanza tra fuoco e vertice. In questo caso, la distanza tra fuoco e direttrice è $2|p|$, dove $|p| = \frac{1}{4|a|}$. Quindi, la distanza tra fuoco e direttrice è $\frac{1}{2|a|}$. Se la direttrice è $y=0$ e il fuoco è $(1,2)$, il vertice sarà a metà strada, ovvero $(1,1)$. La distanza fuoco-vertice è 1, quindi $\frac{1}{4|a|} = 1$, da cui $|a|=1/4$. Poiché il fuoco è sopra il vertice, la parabola è rivolta verso l'alto, quindi $a = 1/4$.

Tangenza a una Retta

La condizione di tangenza tra una parabola e una retta (che non sia l'asse di simmetria) è un caso particolare di intersezione. Si impone che il sistema formato dall'equazione della parabola e dall'equazione della retta abbia una sola soluzione. Algebricamente, questo si traduce ponendo a zero il discriminante ($\Delta$) dell'equazione di secondo grado che si ottiene risolvendo parzialmente il sistema.

Ad esempio, per trovare la retta tangente alla parabola $y = x^2$ in un punto $(x0, y0)$ della parabola, si considera il fascio di rette passanti per quel punto $y - y0 = m(x-x0)$. Sostituendo $y0 = x0^2$, si ha $y - x0^2 = m(x-x0)$. Si sostituisce questa $y$ nell'equazione della parabola: $x^2 - x0^2 = m(x-x0)$. Raccogliendo i termini, si ottiene un'equazione di secondo grado in $x$. Imponendo $\Delta=0$, si trova il valore di $m$ che corrisponde alla retta tangente.

Esempi Illustrativi di Esercizi Svolti

La teoria è fondamentale, ma la pratica è insostituibile. Esaminiamo alcuni tipi di esercizi e come applicare i principi discussi.

Esercizio 1: Determinazione dell'Equazione della Parabola Dati Vertice e un Punto

Problema: Determinare l'equazione della parabola con vertice $V \equiv (-1; 8)$ e passante per il punto $A \equiv (1; 0)$.

Soluzione:Utilizziamo la formula della parabola traslata: $y - yV = a(x-xV)^2$.Sostituendo le coordinate del vertice $V(-1; 8)$:$y - 8 = a(x - (-1))^2$$y - 8 = a(x+1)^2$

Ora utilizziamo la condizione che la parabola passa per $A(1; 0)$:$0 - 8 = a(1+1)^2$$-8 = a(2)^2$$-8 = 4a$$a = -2$

Sostituiamo il valore di $a$ nell'equazione:$y - 8 = -2(x+1)^2$$y - 8 = -2(x^2 + 2x + 1)$$y - 8 = -2x^2 - 4x - 2$$y = -2x^2 - 4x + 6$

L'equazione della parabola è $y = -2x^2 - 4x + 6$.

Esercizio 2: Parabola Passante per Due Punti con Asse di Simmetria Specificato

Problema: Determinare l'equazione della parabola passante per i punti $P1 \equiv (1; 2)$ e $P2 \equiv (3; 0)$ e avente asse di simmetria $x = 2$.

Soluzione:L'equazione generica della parabola è $y = ax^2 + bx + c$.Le tre condizioni sono:

1. Passaggio per $P_1(1; 2)$: $2 = a(1)^2 + b(1) + c \Rightarrow a + b + c = 2$
2. Passaggio per $P_2(3; 0)$: $0 = a(3)^2 + b(3) + c \Rightarrow 9a + 3b + c = 0$
3. Asse di simmetria $x = 2$: $-\frac{b}{2a} = 2 \Rightarrow b = -4a$

Ora risolviamo il sistema di tre equazioni:Sostituiamo $b = -4a$ nella prima e nella seconda equazione:(1) $a + (-4a) + c = 2 \Rightarrow -3a + c = 2 \Rightarrow c = 3a + 2$(2) $9a + 3(-4a) + c = 0 \Rightarrow 9a - 12a + c = 0 \Rightarrow -3a + c = 0$

Abbiamo ottenuto due equazioni per $c$: $c = 3a+2$ e $c = 3a$. Questo indica un'incoerenza, il che suggerisce che non esiste una parabola con asse di simmetria $x=2$ che passi per quei due punti. Riconsideriamo il problema: se l'asse di simmetria è $x=2$, il vertice ha ascissa 2.

Procediamo diversamente usando la formula traslata, sapendo che l'asse di simmetria è $x=2$. Il vertice avrà coordinate $(2, yV)$. L'equazione è della forma $y - yV = a(x-2)^2$.Passaggio per $P1(1; 2)$: $2 - yV = a(1-2)^2 = a(-1)^2 = a$. Dunque, $yV = 2 - a$.Passaggio per $P2(3; 0)$: $0 - yV = a(3-2)^2 = a(1)^2 = a$. Dunque, $yV = -a$.

Abbiamo due espressioni per $y_V$: $2-a = -a$. Questo porta a $2=0$, una contraddizione.Verifichiamo il testo originale: "Passaggio per due punti e avente il vertice su una retta assegnata". Questo è un problema diverso.

Riproponiamo un esercizio più standard:Problema: Determinare l'equazione della parabola passante per i punti $P1 \equiv (1; 2)$ e $P2 \equiv (3; 0)$ e avente il vertice sulla retta $y = x - 1$.

Soluzione:L'equazione generica è $y = ax^2 + bx + c$.Condizioni:

1. $a + b + c = 2$
2. $9a + 3b + c = 0$
3. Il vertice $(xV, yV)$ soddisfa $yV = xV - 1$. Sappiamo che $xV = -\frac{b}{2a}$ e $yV = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{b^2-4ac}{4a}$.Quindi: $-\frac{b^2-4ac}{4a} = -\frac{b}{2a} - 1$.Moltiplichiamo per $4a$: $-(b^2-4ac) = -2b - 4a \Rightarrow -b^2 + 4ac = -2b - 4a \Rightarrow b^2 - 4ac - 2b - 4a = 0$.

Questo metodo porta a un sistema complesso. Utilizziamo un approccio più efficiente, sfruttando la formula traslata $y - yV = a(x-xV)^2$.Sappiamo che $xV = -\frac{b}{2a}$. Dalla retta del vertice, $yV = x_V - 1 = -\frac{b}{2a} - 1$.Sostituiamo nell'equazione traslata:$y - (-\frac{b}{2a} - 1) = a(x - (-\frac{b}{2a}))^2$$y + \frac{b}{2a} + 1 = a(x + \frac{b}{2a})^2$

Questo ancora complica le cose. Torniamo al sistema di tre equazioni con i parametri $a, b, c$.

1. $a + b + c = 2$
2. $9a + 3b + c = 0$
3. $yV = xV - 1 \Rightarrow -\frac{b^2-4ac}{4a} = -\frac{b}{2a} - 1$

Sottraiamo la prima equazione dalla seconda:$(9a+3b+c) - (a+b+c) = 0 - 2$$8a + 2b = -2 \Rightarrow 4a + b = -1 \Rightarrow b = -1 - 4a$.

Ora sostituiamo $b$ nella terza condizione:$-\frac{(-1-4a)^2 - 4ac}{4a} = -\frac{-1-4a}{2a} - 1$$-\frac{(1+8a+16a^2) - 4ac}{4a} = \frac{1+4a}{2a} - 1$Moltiplichiamo tutto per $4a$:$-(1+8a+16a^2) + 4ac = 2(1+4a) - 4a$$-1-8a-16a^2 + 4ac = 2+8a - 4a$$-1-8a-16a^2 + 4ac = 2+4a$$4ac - 16a^2 - 12a - 3 = 0$.

Per trovare $c$, sottraiamo la prima equazione dalla seconda in modo da isolare $c$:Dalla (1): $c = 2 - a - b = 2 - a - (-1-4a) = 2 - a + 1 + 4a = 3 + 3a$.Sostituiamo $c$ nell'equazione ottenuta:$4a(3+3a) - 16a^2 - 12a - 3 = 0$$12a + 12a^2 - 16a^2 - 12a - 3 = 0$$-4a^2 - 3 = 0$$4a^2 = -3$.Questa equazione non ha soluzioni reali per $a$. Questo significa che non esiste una parabola con asse verticale che soddisfi le condizioni date. È possibile che l'esercizio richieda una parabola con asse orizzontale ($x = ay^2 + by + c$).

Riesaminiamo gli esercizi forniti nel testo originale per trovare un esempio concreto e risolvibile.

Esercizio 3: Parabola con Fuoco e Direttrice Dati

Problema: Una parabola ha fuoco di coordinate $F \equiv (2,3)$ e direttrice $y=2$. Determinare l'equazione della parabola.

Soluzione:La definizione di parabola è l'insieme dei punti equidistanti dal fuoco e dalla direttrice. Sia $P(x,y)$ un punto generico della parabola.La distanza dal fuoco $F(2,3)$ è $d(P,F) = \sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2}$.La distanza dalla direttrice $y=2$ è $d(P,r) = |y-2|$.Uguagliando le due distanze (al quadrato per semplicità):$(x-2)^2 + (y-3)^2 = (y-2)^2$$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = y^2 - 4y + 4$$x^2 - 4x + 4 - 6y + 9 = -4y + 4$$x^2 - 4x + 13 - 6y = -4y$$x^2 - 4x + 13 = 2y$$y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{13}{2}$

Verifichiamo i parametri della parabola ottenuta: $a = 1/2$, $b = -2$, $c = 13/2$.Vertice: $xV = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(1/2)} = 2$.$yV = \frac{1}{2}(2)^2 - 2(2) + \frac{13}{2} = \frac{1}{2}(4) - 4 + \frac{13}{2} = 2 - 4 + \frac{13}{2} = -2 + \frac{13}{2} = \frac{-4+13}{2} = \frac{9}{2}$.Vertice: $V(2, 9/2)$.Distanza fuoco-vertice: $d(F,V) = \sqrt{(2-2)^2 + (3 - 9/2)^2} = \sqrt{0 + (6/2 - 9/2)^2} = \sqrt{(-3/2)^2} = 3/2$.Distanza vertice-direttrice: $d(V,r) = |9/2 - 2| = |9/2 - 4/2| = 5/2$.C'è un errore nel calcolo o nella comprensione.

Riconsideriamo la distanza fuoco-direttrice. La distanza tra il fuoco $(xF, yF)$ e la direttrice $y=d$ è $|yF - d|$. In questo caso, $|3-2| = 1$. Questa distanza è pari a $2|p|$, dove $|p| = \frac{1}{4|a|}$. Quindi, la distanza tra fuoco e direttrice è $2 \cdot \frac{1}{4|a|} = \frac{1}{2|a|}$.Se la distanza è 1, allora $\frac{1}{2|a|} = 1 \Rightarrow |a| = 1/2$.Il vertice si trova a metà strada tra fuoco e direttrice. L'ascissa del vertice è la stessa del fuoco, $xV = 2$. L'ordinata del vertice è la media tra l'ordinata del fuoco e la coordinata $y$ della direttrice: $yV = \frac{3+2}{2} = \frac{5}{2}$.Quindi il vertice è $V(2, 5/2)$.Poiché il fuoco $(2,3)$ è sopra la direttrice $y=2$, la parabola è rivolta verso l'alto, quindi $a = 1/2$.Utilizzando la formula traslata $y - yV = a(x-x_V)^2$:$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}(x-2)^2$$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4)$$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2$$y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 + \frac{5}{2}$$y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{4+5}{2}$$y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + \frac{9}{2}$.

Questa è l'equazione corretta.

Esercizio 4: Determinazione di Parametri per Passaggio per un Punto

Problema: Data l'equazione $y=(a+1)x^2+2x+3$, determinare il valore del parametro $a$ affinché l'equazione rappresenti una parabola passante per il punto $P(1,0)$.

Soluzione:Affinché l'equazione rappresenti una parabola, il coefficiente di $x^2$ non deve essere nullo, quindi $a+1 \neq 0 \Rightarrow a \neq -1$.La condizione di passaggio per il punto $P(1,0)$ significa che sostituendo $x=1$ e $y=0$ nell'equazione, questa deve essere soddisfatta:$0 = (a+1)(1)^2 + 2(1) + 3$$0 = (a+1) + 2 + 3$$0 = a + 1 + 5$$0 = a + 6$$a = -6$.

Poiché $a = -6 \neq -1$, l'equazione rappresenta effettivamente una parabola.

Esercizio 5: Condizioni per cui un'Equazione NON Rappresenta una Parabola

Problema: Determinare per quali valori del parametro $k$ l'equazione $y=\dfrac{x^2}{k^2-9}$ non rappresenta una parabola.

Soluzione:L'equazione generale di una parabola con asse verticale è $y = ax^2 + bx + c$. In questo caso, $b=0$ e $c=0$. Il coefficiente $a$ è dato da $\frac{1}{k^2-9}$.Affinché l'equazione rappresenti una parabola, il coefficiente di $x^2$ (che è $a$) deve essere diverso da zero.Quindi, $\frac{1}{k^2-9} \neq 0$. Questo è sempre vero, dato che il numeratore è 1.

Tuttavia, l'equazione può non rappresentare una parabola se il denominatore è zero, poiché in quel caso l'espressione non è definita o potrebbe portare a una forma indeterminata.Il denominatore è zero quando $k^2 - 9 = 0$.$k^2 = 9$$k = \pm 3$.

Se $k=3$ o $k=-3$, il denominatore $k^2-9$ è zero. L'espressione $\frac{x^2}{0}$ non è definita e non rappresenta una parabola.

Esercizio 6: Confronto di Aperture di Parabole

Problema: Disegnare nello stesso piano cartesiano le parabole $y=2x^2$ e $y=\dfrac{1}{4}x^2$. Quale ha apertura maggiore?

Soluzione:Entrambe le parabole hanno equazioni della forma $y=ax^2$, quindi hanno il vertice nell'origine $(0,0)$ e sono simmetriche rispetto all'asse y.Per la parabola $y=2x^2$, il coefficiente $a$ è $2$.Per la parabola $y=\dfrac{1}{4}x^2$, il coefficiente $a$ è $\dfrac{1}{4}$.

L'apertura di una parabola è inversamente proporzionale al valore assoluto del coefficiente $a$. Un valore più piccolo di $|a|$ corrisponde a un'apertura maggiore.In questo caso, $|2| = 2$ e $|\frac{1}{4}| = \frac{1}{4}$.Poiché $\frac{1}{4} < 2$, la parabola $y=\dfrac{1}{4}x^2$ ha un'apertura maggiore rispetto alla parabola $y=2x^2$.

Approfondimenti e Applicazioni

Oltre alla determinazione dell'equazione di una parabola, gli esercizi possono esplorare concetti più avanzati e applicazioni pratiche.

Massimizzazione dell'Area di un Rettangolo Inscritto in una Parabola

Un classico problema di ottimizzazione coinvolge l'iscrizione di un rettangolo in un segmento parabolico. La "regola dei 2/3" menzionata nel materiale fornito si riferisce a un teorema che afferma che l'area del rettangolo di massima area inscritto in un segmento parabolico è i 2/3 dell'area del parallelogramma formato dai vertici del segmento parabolico e dai punti sulle tangenti in quei vertici parallele all'asse.

Consideriamo una parabola $y=ax^2$ e il segmento delimitato dalla retta $y=h$. L'area del rettangolo inscritto di altezza $h$ e base $2x$ (dove $h=ax^2$, quindi $x=\sqrt{h/a}$) è $A = (2x)h = 2\sqrt{h/a} \cdot h = 2h^{3/2}/\sqrt{a}$. Questo non porta direttamente alla regola dei 2/3.

La regola dei 2/3 si applica più specificamente all'area del rettangolo inscritto in un segmento parabolico delimitato da una corda e dall'arco della parabola. Se la base del rettangolo giace sulla corda e i lati opposti toccano la parabola, l'area massima del rettangolo è 2/3 dell'area del segmento parabolico definito dalla corda.

Modellizzazione Parabolica di un Ponte Sospeso

La forma di un cavo di un ponte sospeso sotto il proprio peso (trascurando il peso della strada) è approssimativamente parabolica. La modellizzazione di tali strutture richiede la determinazione dei parametri della parabola in base alle dimensioni del ponte, alla lunghezza dei cavi e alla distribuzione del carico. Sfide di asimmetria possono sorgere in ponti con campate di lunghezza diversa o con carichi non uniformi.

Calcolo di Traiettorie Paraboliche

In fisica, la traiettoria di un proiettile lanciato con una certa velocità iniziale e angolazione, trascurando la resistenza dell'aria, è una parabola. L'equazione del moto in verticale è influenzata dalla gravità. Determinare la gittata, l'altezza massima e il tempo di volo implica risolvere equazioni paraboliche.

Considerazioni sulla Struttura e Risoluzione degli Esercizi

La chiave per risolvere efficacemente gli esercizi sulle parabole risiede in un approccio metodico:

1. Identificare le Condizioni: Leggere attentamente il problema e individuare le informazioni che possono essere tradotte in equazioni. Contare queste condizioni per assicurarsi che siano tre (a meno che non si tratti di parabole particolari).
2. Tradurre in Equazioni: Convertire ogni condizione in una equazione algebrica, utilizzando le formule e le relazioni discusse in precedenza (passaggio per un punto, asse di simmetria, vertice, fuoco, direttrice, tangenza).
3. Impostare il Sistema: Organizzare le equazioni ottenute in un sistema.
4. Risolvere il Sistema: Utilizzare metodi algebrici (sostituzione, eliminazione) per risolvere il sistema e determinare i valori dei parametri incogniti ($a, b, c$).
5. Scrivere l'Equazione: Sostituire i valori trovati nell'equazione generica della parabola.
6. Verificare: Se possibile, verificare la soluzione inserendo le coordinate di punti noti o controllando le proprietà geometriche (come la posizione del vertice o dell'asse di simmetria).

Risoluzione di Equazioni Particolari

Alcuni esercizi presentano parabole con forme leggermente modificate o richiedono la manipolazione di equazioni parametriche.

Esempio: $y = x - |2x - 1|$

Per disegnare una curva definita da un valore assoluto, è necessario distinguere i casi.Il valore assoluto $|2x-1|$ cambia espressione a seconda che $2x-1 \ge 0$ o $2x-1 < 0$.$2x-1 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 1 \Rightarrow x \ge 1/2$.$2x-1 < 0 \Rightarrow x < 1/2$.

Caso 1: $x \ge 1/2$In questo caso, $|2x-1| = 2x-1$. L'equazione diventa:$y = x - (2x-1)$$y = x - 2x + 1$$y = -x + 1$.Questa è l'equazione di una retta che è valida per $x \ge 1/2$.

Caso 2: $x < 1/2$In questo caso, $|2x-1| = -(2x-1) = -2x+1$. L'equazione diventa:$y = x - (-2x+1)$$y = x + 2x - 1$$y = 3x - 1$.Questa è l'equazione di una retta che è valida per $x < 1/2$.

Quindi, la curva $y = x - |2x - 1|$ è in realtà costituita da due semirette che si incontrano nel punto in cui $x=1/2$.Per $x=1/2$, la prima equazione dà $y = -(1/2) + 1 = 1/2$.Per $x=1/2$, la seconda equazione dà $y = 3(1/2) - 1 = 3/2 - 1 = 1/2$.Il punto di intersezione è $(1/2, 1/2)$.

La discussione sul numero di soluzioni con una retta generica parallela all'asse x ($y=k$) richiede di analizzare le intersezioni di $y=k$ con le due semirette.Se $y=k$ interseca $y=-x+1$ per $x \ge 1/2$, allora $k = -x+1 \Rightarrow x = 1-k$. La soluzione è valida se $1-k \ge 1/2 \Rightarrow 1/2 \ge k$.Se $y=k$ interseca $y=3x-1$ per $x < 1/2$, allora $k = 3x-1 \Rightarrow 3x = k+1 \Rightarrow x = (k+1)/3$. La soluzione è valida se $(k+1)/3 < 1/2 \Rightarrow k+1 < 3/2 \Rightarrow k < 1/2$.

• Se $k > 1/2$, non ci sono intersezioni.
• Se $k = 1/2$, c'è una sola intersezione nel punto $(1/2, 1/2)$.
• Se $k < 1/2$, ci sono due intersezioni.

Non si tratta di una parabola, ma di una curva a tratti lineare.

Esempio: Parabole Simmetriche e Intersezioni

Problema: Data la parabola $y = kx^2 + 4kx + 1$, scrivere l'equazione della parabola simmetrica rispetto all'asse x. Siano O e A le intersezioni delle due parabole. Determinare $k$ in modo che il quadrilatero OVAV abbia area 32, dove V e V sono i vertici delle due parabole.

Soluzione:La parabola simmetrica rispetto all'asse x si ottiene scambiando $y$ con $-y$:$-y = kx^2 + 4kx + 1 \Rightarrow y = -(kx^2 + 4kx + 1) = -kx^2 - 4kx - 1$.

Le intersezioni O e A si trovano risolvendo il sistema:$y = kx^2 + 4kx + 1$$y = -kx^2 - 4kx - 1$$kx^2 + 4kx + 1 = -kx^2 - 4kx - 1$$2kx^2 + 8kx + 2 = 0$$kx^2 + 4kx + 1 = 0$.

Se $k=0$, l'equazione originale diventa $y=1$, che è una retta. La simmetrica è $y=-1$. Le intersezioni sono infinite se le rette coincidono, ma qui sono parallele. Se $k=0$, le equazioni sono $y=1$ e $y=-1$, che non si intersecano. Quindi $k \neq 0$.

Usando la formula quadratica per $kx^2 + 4kx + 1 = 0$:$x = \frac{-4k \pm \sqrt{(4k)^2 - 4(k)(1)}}{2k} = \frac{-4k \pm \sqrt{16k^2 - 4k}}{2k} = \frac{-4k \pm 2\sqrt{4k^2 - k}}{2k} = \frac{-2k \pm \sqrt{4k^2 - k}}{k}$.Le intersezioni dipendono dal valore di $k$.

Tuttavia, il testo originale fornisce un esempio di risoluzione per un problema simile:"Data la parabola $y = kx^2 + 4kx + 1$, scrivere l’equazione della parabola simmetrica della prima rispetto all’asse x. Siano O e A le intersezioni delle due parabole, determinare k in modo che il quadrilatero OV AV abbia area uguale 32, dove V e V sono i vertici delle due parabole."La soluzione fornita nel testo originale per un caso simile è:"La parabola simmetrica della parabola data è $y = -kx^2 - 4kx - 1$. Dal sistema si ricava O (0;0) e A(4;0)."Se O(0,0) è un'intersezione, allora sostituendo in $y = kx^2 + 4kx + 1$: $0 = k(0)^2 + 4k(0) + 1 \Rightarrow 0 = 1$, il che è impossibile.Se A(4,0) è un'intersezione, allora $0 = k(4)^2 + 4k(4) + 1 \Rightarrow 0 = 16k + 16k + 1 \Rightarrow 32k = -1 \Rightarrow k = -1/32$.Se $k=-1/32$, l'equazione diventa $y = -\frac{1}{32}x^2 - \frac{4}{32}x + 1 = -\frac{1}{32}x^2 - \frac{1}{8}x + 1$.L'equazione simmetrica è $y = \frac{1}{32}x^2 + \frac{1}{8}x - 1$.Intersezioni: $-\frac{1}{32}x^2 - \frac{1}{8}x + 1 = \frac{1}{32}x^2 + \frac{1}{8}x - 1$.$0 = \frac{2}{32}x^2 + \frac{2}{8}x - 2$$0 = \frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{4}x - 1$.Moltiplichiamo per 16: $x^2 + 4x - 16 = 0$.$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-16)}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 64}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{5}}{2} = -2 \pm 2\sqrt{5}$.Le intersezioni non sono (0,0) e (4,0).

C'è un'incongruenza tra il problema posto e la soluzione fornita nel testo originale. La soluzione fornita sembra riferirsi a parabole del tipo $y = kx^2$ e $y = -kx^2$ o simili, dove l'origine è un punto di intersezione.

Consideriamo la soluzione che viene presentata: "Dal sistema si ricava O (0;0) e A(4;0). Il quadrilatero è un rombo. La diagonale sull’asse x vale 4. I vertici sono V (2;4k) e V (2;-4k). La diagonale parallela all’asse y è 8k. Da 4 * 8k = 32 si ricava k = 2".Questo implica che le parabole sono $y = 2x^2$ e $y = -2x^2$. Le intersezioni sono O(0,0) e A(0,0), che non formano una base di lunghezza 4.Se le parabole fossero $y = a(x-x0)^2 + y0$, e avessero simmetria rispetto all'asse x, le intersezioni O e A sarebbero sul piano cartesiano reale.

Riprendiamo l'esempio della soluzione fornita nel testo originale:Parabola: $y = kx^2 + 4kx + 1$. Vertice: $xV = -4k / (2k) = -2$. $yV = k(-2)^2 + 4k(-2) + 1 = 4k - 8k + 1 = -4k + 1$. Vertice $V(-2, -4k+1)$.Parabola simmetrica: $y = -kx^2 - 4kx - 1$. Vertice: $xV = -(-4k) / (2(-k)) = 4k / (-2k) = -2$. $yV = -k(-2)^2 - 4k(-2) - 1 = -4k + 8k - 1 = 4k - 1$. Vertice $V'(-2, 4k-1)$.

Le intersezioni sono date da $kx^2 + 4kx + 1 = -kx^2 - 4kx - 1$, che porta a $2kx^2 + 8kx + 2 = 0$, o $kx^2 + 4kx + 1 = 0$.Se le intersezioni sono O(0,0) e A(4,0), allora sostituendo in $kx^2 + 4kx + 1 = 0$:Per O(0,0): $k(0)^2 + 4k(0) + 1 = 0 \Rightarrow 1=0$, impossibile.

C'è un errore fondamentale nella deduzione delle intersezioni o nella formula della parabola utilizzata nell'esempio fornito.

Consideriamo un caso più semplice dove le intersezioni sono (0,0) e (4,0). Questo significa che le equazioni delle parabole devono annullarsi per $x=0$ e $x=4$.Se $y = ax^2+bx+c$, allora $c=0$.Se passa per (4,0), allora $16a+4b=0 \Rightarrow b=-4a$.Quindi le parabole sono della forma $y = ax^2 - 4ax = ax(x-4)$.Se una parabola è $y = ax(x-4)$, la sua simmetrica rispetto all'asse x sarebbe $y = -ax(x-4)$.Le intersezioni sono $ax(x-4) = -ax(x-4)$.$2ax(x-4) = 0$. Le soluzioni sono $x=0$ e $x=4$.Le intersezioni sono quindi O(0,0) e A(4,0).

Il vertice di $y = ax^2 - 4ax$ è $xV = -(-4a)/(2a) = 4a/(2a) = 2$.$yV = a(2)^2 - 4a(2) = 4a - 8a = -4a$.Vertice $V(2, -4a)$.Il vertice della simmetrica $y = -ax^2 + 4ax$ è $xV = -(4a)/(2(-a)) = -4a/(-2a) = 2$.$yV = -a(2)^2 + 4a(2) = -4a + 8a = 4a$.Vertice $V'(2, 4a)$.

Il quadrilatero OVAV ha vertici O(0,0), V(2, -4a), A(4,0), V'(2, 4a).Questo quadrilatero è un rombo. Le diagonali sono OA (lunghezza 4) e VV' (lunghezza $|4a - (-4a)| = |8a|$).L'area di un rombo è $\frac{1}{2} d1 d2$.Area $= \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot |8a| = 2 \cdot |8a| = 16|a|$.Dobbiamo avere $16|a| = 32$, quindi $|a| = 2$.Possiamo scegliere $a=2$ o $a=-2$.

Se $a=2$, le parabole sono $y = 2x^2 - 8x$ e $y = -2x^2 + 8x$.Se $a=-2$, le parabole sono $y = -2x^2 + 8x$ e $y = 2x^2 - 8x$.Sono le stesse due parabole.

Questo esempio illustra come, partendo da informazioni geometriche (intersezioni, vertici, area), si possano determinare i parametri delle equazioni paraboliche.

La capacità di affrontare una varietà di esercizi sulle parabole, dalle semplici determinazioni di equazioni ai problemi di ottimizzazione e modellizzazione, è fondamentale per una solida comprensione della geometria analitica e delle sue applicazioni. La chiave del successo risiede nella padronanza delle condizioni geometriche e nella loro precisa traduzione in linguaggio algebrico, seguita da una risoluzione sistematica dei sistemi di equazioni che ne derivano.

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